what does that have to do with anything?

今回のこの表現、イディオムではないですね。疑問文です。

Elliot: I just don't know what to do about Dr Cox.

J.D.: What is going on here?

Elliot: I say one thing, he says the other. I can't take it any more.

J.D.: Why don't you become a lesbian, and hook up with some hot model?

Elliot: What's that got to do with anything?

J.D.: I just thought it'd be hot.

会話は Scrubs から紹介します。研修医のJ.D.（男）とエリオット（女）がコックス医師について話をしているところです。エリオットがコックスに振り回されてまいっています。

エリオット：正直コックス先生とどうやって仕事すればいいかわからない。

J.D.：何かあったのかよ？

エリオット：私が何か言ってもただ違うことを言うのよ。やってらんないわ。

J.D. : レズビアンにでもなって、どっかのエロいモデルとできちまえよ。

エリオット：...それが何と何の関係があるってのよ？

J.D.: いや、それ、やらしくていいなと思って。

この疑問文ですが、本来はこの文脈であれば"anything"でなく"What I just said"、あるいはそれに似たような言葉が使われるべきなんです。

What does that have to do with what I just said?

説明を単純にするために完了形を使うのをやめています。素直に訳すと。

それが今私が言ったこととと何の関係があるの？

となります。

よく見ると、この疑問文は構造が分かりにくいですよね。この What は明らかに目的格ですが、何の目的語なんでしょうか？

"do" の目的語でしょうか？そうすると必然的に"have to" は"must"と考えなければいけませんが、意味がよくわかりません。ここではその解釈は間違いでしょう。”do with"を「～と関係がある」という熟語として考えるのが正解になります。で、その目的語は "what I just said" ですので疑問詞 "what"は動詞である have の目的語と考えるほかないのです。そうです。この疑問文の動詞は "have" なんですね。別の例文を使って説明しましょう。

He has nothing to do with you.　（彼にはあなたと関係することは何もない）

Does she have anything to do with the incident?　（彼女にはその出来事と関係することがありますか？）

to do with ～以下は所謂”不定詞の形容詞的用法”と考えるのが自然です。もちろん形容しているのは "nothing" あるいは "anything" です。「～と関係する何か」ですよね。

What does that have to do with ...? は anythingの部分をそのまま疑問詞what にしていると考えればいいでしょう。

Do you have anything to say? = What do you have to say?　（何か言うことはありますか）

右の文はあまり聞きませんが文法的にはこの書き換えは成立します。(ここではhave to = must ではないです。mustと捉えると「何を言わなければいけませんか」になります。ややこしいな...)

なので、

What does that have to do with what I just said? = Does that have anything to do with what I just said?

（それが今私が言ったこととと何の関係があるの？）

なわけです。

更にですよ、Elliotのセリフの中では "what I just said" ではなく "anything" が使われています。

置き換えて訳せば。

（それが何と何の関係があるの？）

となります。

本来は、自分が今言ったこと、あるいは論点やテーマと全然関係ないでしょ？という反語なんですが、さらにそれを"anything" と言って、今話していることどころか、その他の何とも関係ない、と。とにかく突飛だ、みたいなニュアンスなのだと思います。

よく聞く表現です。ネイティブの人間がこの疑問文を使うときに、いちいち what は何の目的語で、anything が何を指しているのか、などと考えているわけがありません。ですが、きちんと理解しようと分析してみると複雑なんです。

アメフトの話をしているのに誰かが突然野球の話をし始めたときに、

What does that have to do with NFL? (それがNFLと何の関係があるんだよ？）

と言ってもいいですし。

What does that have to do with anything? (それが何と何の関係があるんだよ？）

と言っても成り立つでしょう。

おそらく後者、つまりanything を使った表現の方が、より強調された言い方になると思います。

あれこれ考えずに丸暗記して使ってもらってもかまわないと思います。